Расчётно - графическое задание. Расчёт установившихся и переходных процессов в электрических цепях

Задача 1. Расчет установившихся процессов в линейных цепях постоянного тока.

1)     Для исходной схемы составить системы уравнений и записать их в матричной форме следующими методами:

·       Законами Кирхгофа;

·       Методом контурных токов;

·       Методом узловых потенциалов.

2)     Провести расчёт всех токов методом контурных токов или узловых потенциалов.

3)     Провести проверку расчётов токов по законам Кирхгофа. Составить баланс мощности.

4)     Рассчитать показания прибора методом эквивалентного генератора.

Решение

1)     Составление уравнений по законам Кирхгофа.

 

Число ветвей цепи с неизвестными токами p = 7. Число узлов q = 4.

Для нахождения всех неизвестных токов нужно составить 7 уравнений, из них:

 

n₁ = q – 1 уравнений по первому закону,

n₂ = p – q + 1 уравнений по второму закону.

 

                    - по I закону Кирхгофа,

              - по II закону Кирхгофа.

 

Запишем в матричной форме:

-R1	-R2	0	0	0	0	0	x	I1	=	E6
0	0	0	-R4	0	0	0		I2		E6
0	0	-R3	0	R5	0	0		I3		E5
0	R2	-R3	-R4	0	0	0		I4		0
-1	0	0	0	0	1	1		I5		0
1	-1	-1	0	-1	0	0		I6		0
0	1	0	1	0	1	0		I7		0

Составление уравнений методом контурных токов.

Обозначим и пронумеруем на схеме независимые контуры I₁₁÷I₄₄. Их число равно
n₂ = p – q + 1. В каждом контуре пробегает контурный ток, составленный алгебраической суммой всех пробегающих по контуру токов. Таким образом, найдя решение системы 4-х уравнений, найдём все искомые токи I₁÷I₇.

I33

I22

I44

I11

R1+ R2+ R4	-(R2+ R4)	0	0	x	I11	=	0
R4	0	-R4	0		I22		E6
-(R2+ R4)	0	R4+ R2+ R3	R3		I33		0
0	R2	R3	R3+ R5		I44		- E5

 

I1 = I11 I2 = I11 – I22 I3 = I33 + I22 I4 = – I33 +I22 I5 = – I33 I6 = I44

I11 = 0,067 A I22 = 1,1 A I33 = –1,167 A I44 = 3,532 A

 

Составление уравнений методом узловых потенциалов.

Так как сопротивление идеального амперметра равно нолю, потенциалы на первом и четвёртом узлах равны. Итого имеем три узла с разными потенциалами. Примем потенциал первого узла равным нолю, φ₁ = 0. Тогда φ₃ имеет потенциал E₆, т.к. это разность потенциалов между третьим и первым узлами, а первый имеет нулевой потенциал.

Выпишем уравнение по I закону Кирхгофа для узла 2:

;

Выпишем выражения для токов по закону Ома:

Подставим второе выражение в первое:

x

=

 

2)     Провести расчёт всех токов методом контурных токов или узловых потенциалов.

Найдём токи методом узловых потенциалов:

3)     Провести проверку расчётов токов по законам Кирхгофа. Составить баланс мощности.

 

Проверка по законам Кирхгофа:

Получили всюду тождества, значит результат не противоречит законам Кирхгофа.

            Проверка по балансу мощности:

Получили одинаковые суммы мощностей всех источников и всех потребителей в схеме, баланс мощности сошёлся.

4)     Рассчитать показания прибора методом эквивалентного генератора.

Представим схему без амперметра в виде активного двухполюсника, выделив зажимы амперметра:

 

 

 

 

Определяем R_эг: принимаем сопротивление источников ЭДС за ноль и считаем эквивалентное сопротивление схемы относительно выделенных зажимов.

 

 

 

 

 

 

 

 

Из выражений для разностей потенциалов, аналогично пункту 1.1, 1.2 находим .

Отсюда

 

 

По закону Ома для цепи из двухполюсника и амперметра находим I_н:

 

 

 

 

 

 

Задача 2. Расчет установившихся процессов в линейных цепях синусоидального тока.

1)     Составить системы уравнений по законам Кирхгофа для мгновенных значений и в символической форме.

2)     Рассчитать комплексные значения токов в ветвях символическим методом. Записать выражения для мгновенных значений токов.

3)     Составить баланс мощности. Определить показания приборов.

4)     Построить топографическую диаграмму напряжений, совмещённую с векторной диаграммой токов.

Для удобства расчетов преобразуем схему по правилам развязки. Реактивным сопротивлением -jX_M будет обладать конденсатор ёмкостью 33мкФ.

 

 

 

 

 

1)     Составление уравнений

 

 

 

 

 

 

2)     Расчёт токов

 

1	-1	-1	x		=	0
jXL1+M	0	R - jXM
0	jXL2+M - jXC	jXM - R				0

 

1	-1	-1	x		=	0
j70	0	50-j30				28,284
0	j40	j30-50				0

 

,

,

, ;

 

 

Приборы показывают действующее значение переменного тока, которое меньше амплитудного в корень из двух раз.

3)     Проверка по балансу мощности

;

 

 

 

Баланс мощностей соблюдается, мощность источника равна сумме мощностей всех потребителей.

 

4)     Векторная диаграмма токов и напряжений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 3. Расчет переходных процессов в линейных цепях.

Рассчитать переходный процесс для указанного в задаче тока или напряжения.

Теоретически переходный процесс длится бесконечно долго, но на практике считают, что он заканчивается, когда значения тока и напряжения перестают отклоняться от значений установившегося режима больше чем на 5%. По законам коммутации в момент коммутации ток (поток) через катушку и напряжение (заряд) на конденсаторе сохраняют свои значения.

На выходе схемы стоит конденсатор (между выходными разъёмами), значит значение напряжения на выходе будет меняться начиная с нуля. Ток через катушку до подачи входного импульса не тёк, значит значение тока через катушку сразу после коммутации будет нулевым. Это независимые начальные условия.

Искомое напряжение всегда будет равно напряжению на конденсаторе. В момент сразу после коммутации U₁=E₀=40V. По закону Кирхгофа имеем:

 из независимых начальных условий U_C(0₊) = 0, i=i_L=0:

Продифференцируем выражение из предыдущего пункта:

  =>

 =>

Получаем диф.ур. второго порядка относительно искомого U_C :

Для решения уравнения заменим производные по времени на p :

Так как под корнем получили положительную величину, процесс будет апериодическим.

;

Итоговое уравнение для искомого выходного напряжения при включении:

.

График этой функции:

Второй переходный процесс проходит на заднем фронте (после него) входного импульса (t=5мс).  Считается, что схема к этому моменту перешла в установившийся режим, входное и выходное напряжения равны E₀, за ноль берётся время начала спада напряжения. Расчёт изменения выходного напряжения аналогичен.